Soient \(ABCD\) un parallélogramme, \(M\) le milieu de \([AB]\) et \(K\in DM\) tel que \(DK=2KM\)
Montrer que \(A\), \(K\) et \(C\) sont alignés

Schéma

Calculs barycentriques
Par le calcul barycentrique : $$\begin{align} M&=\frac{A+B}2\\ K&=\frac{2M+D}3=\frac{A+B+D}{3}\end{align}$$

Exprimer \(K\) en fonction de \(A\) et \(C\) dans du barycentrique

Si \(N\) est le centre du parallélogramme, $$\begin{align} K&=\frac A3+\frac{2N}3&\quad\text{ car }\; N=\frac{B+D}2\\ &=\frac{2A+C}{3}&\quad\text{ car }\; N=\frac{A+C}{2}\end{align}$$
Donc \(A,C,K\) sont alignés

(Référentiel barycentrique)